Меню

Как сделать египетский треугольник из нитки



Египетский треугольник, его свойства

О египетском треугольнике и его свойствах хорошо известно ещё с древних времён. Эта фигура широко применялась в строительстве для разметки и построения правильных углов.

История египетского треугольника

Создателем этой геометрической конструкции является один из величайших математиков древности Пифагор. Именно благодаря его математическим изысканиям мы можем в полной мере использовать все свойства данного геометрического построения в строительстве.

Можно предположить, что математические навыки позволили Пифагору заметить закономерность в формах строения. Дальнейшее развитие событий можно легко представить. Базовый анализ и построение выводов создали одну из самых значимых фигур в истории. Скорее всего, в качестве прообраза была выбрана именно пирамида Хеопса из-за своих практически совершенных пропорций.

Египетский треугольник в строительстве

Свойства этой уникальной геометрической конструкции заключаются в том, что её построение без применения каких-либо инструментов позволяет построить дом с правильными во всех соотношениях углами.

Итак, качества египетского треугольника позволяют делать правильные во всех соотношениях углы. Стороны конструкции имеют следующее соотношение друг к другу:

Чтобы проверить ту ли фигуру вы начертили, используйте хорошо известную ещё со школьной скамьи Теорему Пифагора.

Для лучшего понимания возьмём приведенную выше зависимость и составим небольшой пример. Умножим пять на пять. В результате чего получим гипотенузу равную 25. Вычислим квадраты двух катетов. Они составят 16 и 9. Соответственно их сумма будет двадцать пять.

Именно поэтому свойства египетского треугольника так часто используются в строительстве. Вам достаточно взять заготовку и прочертить прямую линию. Её длина всегда должна быть кратной 5. Затем нужно наметить один край и отмерять от него линию кратную 4, а от второго 3.

Альтернативные способы построить прямой угол на 90 градусов

Как уже упоминалось выше, наилучшим вариантом будет просто взять угольник или транспортир. Эти инструменты позволяют с наименьшими затратами времени и сил добиться нужных пропорций. Главное же свойство египетского треугольника заключается в его универсальности. Фигуру можно построить, не имея в арсенале практически ничего.

Сильно в построении прямого угла помогают простые печатные издания. Возьмите любой журнал или книгу. Дело в том, что в них соотношение сторон всегда составляет ровно 90 градусов. Типографические станки работают очень точно. В противном случае рулон, который заправляется в станок, будет резаться непропорциональными кривыми углами.

Как получить египетский треугольник при помощи верёвки

Свойства этой геометрической фигуры тяжело переоценить. Неудивительно, что инженерами древности было придумано множество способов её образования с использованием минимальных ресурсов.

Одним из самых простых считается метод образования египетского треугольника со всеми его вытекающими свойствами посредством простой верёвки. Возьмите бечёвку и разрежьте её на 12 абсолютно ровных частей. Из них сложите фигуру с пропорциями 3, 4 и 5.

Как построить угол в 45, 30 и 60 градусов

Безусловно, египетский треугольник и его свойства очень полезны при постройке дома. Но без других углов вам обойтись всё-таки не удастся. Чтобы получить угол, равняющийся 45 градусам, возьмите материал рамки или багета. После чего распилите его под углом в сорок пять градусов и состыкуйте половинки друг с другом.

Как видите, свойства фигуры позволяют гораздо проще и быстрее построить геометрический конструкт. Чтобы добиться соотношения сторон в 60 градусов нужно взять один треугольник на 30º и второй такой же. Обычно подобные пропорции необходимы при создании определённых декоративных элементов.

Итоги

Свойства египетского треугольника широко использовались в строительстве на протяжении почти, что двух с половиной веков. Даже сейчас при недостатке инструментов строители применяют эту открытую ещё Пифагором методику, чтобы добиться ровных прямых углов.

Источник

Разметка под фундамент своими руками

Качество постройки в огромной степени зависит от того, насколько правильно была выполнена разметка под фундамент. Занимаясь этой работой важно с максимальной точностью выдержать все прямые углы. Разметка фундамента своими руками под частный дом может быть выполнена несколькими способами. Чаще всего используются метод «египетского» треугольника и метод двух кривых. Поэтому в этой статье рассмотрим именно их.

Какие инструменты понадобятся?

Производится разметка фундамента своими руками с применением инструментов:

  • Рулетки;
  • Шнура;
  • Гидроуровня и отвеса;
  • Помимо этого понадобятся деревянные колышки.

С чего начать разметку?

Итак, как провести разметку фундамента? Для начала следует определить две исходные точки, вбив колышки по углам будущего здания, находящимся на одной прямой со стороны его самой длинной стены. Далее от них нужно будет провести перпендикуляры, таким образом отметив внешний контур смежных стен.

Читайте также:  Как сделать поделку из шара с нитками

«Египетский треугольник». Самый простой метод

Разметка фундамента своими руками быстрее всего может быть произведена методом «золотого» треугольника, имеющего соотношение длин сторон 5*3*4. Мероприятие при этом выполняется в несколько этапов:

1. Для начала нужно найти длинную веревку и завязать на ней четыре узла. Первый – на конце, второй на расстоянии 3м, третий в четырех метрах от второго и последний в пяти метрах от третьего;
2. После этого самый первый и самый последний узлы соединяют гвоздем. По гвоздю следует вбить и в каждый из промежуточных узлов;
3. При этом длинную сторону получившегося треугольника нужно расположить вдоль линии между двумя уже вбитыми колышками;
4. Вдоль короткой стороны проводят требуемый перпендикуляр;
5. На полученной прямой, вбивают третий колышек на расстоянии равном ширине здания.

Важно: Правильность всех замеров следует обязательно проверить. Для этого между вбитыми кольями по диагоналям натягивают два шнура и связывают в месте пересечения.

Paste a VALID AdSense code in Ads Elite Plugin options before activating it.

Метод двух дуг

Разметка фундамента своими силами этим методом выполняется также с использованием веревки. Предварительно от одного из колышков в обе стороны по уже имеющейся прямой отмеряют равные расстояния и отмечают найденные места. Далее к одной из полученных точек прикрепляют веревку с привязанным на противоположном конце гвоздем. Натянув ее проводят дугу напротив того колышка, от которого отмерялись расстояния. Затем веревку крепят ко второму отмеченному месту и чертят еще одну дугу. Из той точки, где дуги пересекутся, проводят линию к колышку. В результате получается прямой угол между ней и уже имеющейся линией.

На заключительном этапе к кольям на высоте будущего фундамента привязывают шнур, поверяя горизонтальность его положения со всех четырех сторон, пользуясь строительным уровнем. Для ленточного фундамента чертят внутренний контур параллельно найденному внешнему и также натягивают шнур.

Совет: В том случае, если траншею предполагается копать с привлечением техники, шнуры лучше не использовать. В процессе работы они могут порваться. Линии между найденными точками в этом случае стоит прочертить песком. Для нахождения центров столбов столбчатого фундамента, от найденных углов вдоль прочерченных линий отмеряют необходимые расстояния и ставят отметки. Далее проверяют прямоугольность углов, получившихся на пересечении линий (соединяющей полученные точки на противоположных сторонах и линии периметра, на которой расположены отметки).

Разметка фундамента своими руками, как можно было заметить – процедура не такая уж и сложная. Самое главное, делать все аккуратно, хорошо натягивать веревку и обязательно проверять полученный результат методом диагоналей.

Источник

ЕГИПЕТСКАЯ СИЛА!

Я часто говорю о том, что при изучении математики ничего не надо запоминать. Конечно, это небольшое преувеличение. Кое-что запоминать нужно. В первую очередь надо запомнить три картинки, и знать их как «Отче наш». Нарисуйте их на трех листочках и носите с собой, пока не запомните. На этих трех картинках будут изображены три треугольника — на каждой один.

Сегодня поговорим о первом, самом древнем, знаменитом и полезном в практической жизни. Это «Египетский» треугольник. Он позволяет строить прямые углы, имея под рукой только веревку. Для этого нужно отмерить на веревке узлами 13 равных частей, а затем сложить ее в виде треугольника, как показано на картинке.

Египтяне задолго до Пифагора знали, что этот треугольник прямоугольный, и использовали его для разметки участков на плодородной Нильской земле. А размечать приходилось много, и каждый год, потому что во время разлива Нила все границы участков смывались, и разметку приходилось делать заново.

Сейчас я расскажу, как с помощью Египетского треугольника можно на листочке в клеточку красиво нарисовать окружность. Поставим точку — это будет центр окружности. Будем рисовать окружность радиусом 5 клеток. Отложим от центра окружности пять клеточек вверх, вниз, вправо и влево. Мы получили тем самым 4 точки нашей окружности. Нарисуем для наглядности вблизи них маленькие кусочки дуги окружности.

Если попробовать по этим 4 точкам нарисовать окружность, то, скорее всего, получится или какая-нибудь «квадратная» окружность, или яйцо, или тыква.

Давайте нарисуем по клеточкам прямоугольный треугольник с вершиной в центре окружности, у которого один катет 3 клеточки, второй 4 клеточки. Это означает, что треугольник — Египетский, значит его гипотенуза равна 5, и, следовательно, лежит на нашей окружности. Рисуем еще один маленький кусочек окружности.

Понятно, что можно нарисовать еще три таких треугольника.

Теперь можно получить еще четыре точки, для этого нужно расположить Египетские треугольники немного по-другому. Положим их на другой катет. А старые треугольники для наглядности сотрем.

Читайте также:  Как сделать красивую елку из ниток

Если теперь мы соединим полученные точки плавными кривыми, то окружность у нас получится практически идеальная.

Конечно, то, что вы научились рисовать окружность радиусом 5 клеток на листке в клеточку, не может служить поводом не носить на уроки циркуль. Я рассказываю об этом фокусе, чтобы стало понятно, почему задачи по математике лучше решать на листочке в клеточку. Дело не только в том, что картинки, таблички и геометрические фигуры рисовать гораздо, чем на листочке в линеечку или на неразлинованном листочке. Главное — вам будет легче догадаться, какой будет правильный ответ.

Итак, первая картинка, которую мы хотим выучить наизусть — это египетский треугольник.

То, что гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 равна 5, можно доказать по теореме Пифагора, для этого достаточно проверить равенство 3² + 4² = 5² .

Теперь представьте себе, что в школе на уроке вам задают задачу, и в ней появился какой-то прямоугольный треугольник, у которого одна сторона 3, а вторая 4. Сразу ясно, что это Египетский треугольник, и можно без всяких вычисления написать, что третья сторона равна 5. И более того! Если в экзамене ЕГЭ или ОГЭ встречается прямоугольный треугольник, у которого одна сторона равна либо 3, либо 4, либо 5, то с большой вероятностью можно предположить, что это Египетский треугольник, и вам будет просто определить остальные его стороны. Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами встречаются не часто. А Египетский среди них — самый маленький, самый простой. Этот треугольник встречается в подавляющем большинстве задач по геометрии. Вот почему надо наизусть знать Египетский треугольник. Это избавит вас от ненужных вычислений при решении многих задач. Вы просто будете сразу писать ответ.

Например, рассмотрим такую простую задачу:

Имеется прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Нужно найти гипотенузу. Понятно, что можно сделать это, воспользовавшись теоремой Пифагора. Но если вы зададите себе самый главный вопрос математики: во сколько раз треугольник с катетами 6 и 8 больше, чем Египетский треугольник с катетами 3 и 4, то вам сразу станет понятно, что в 2 раза. А это значит, что его гипотенуза равна 5 · 2 = 10 .

В таких задачах заморачиваться с вычислениями не надо! Надо сразу писать ответ. Поэтому, если вы видите, что треугольник подобен Египетскому, то следует просто определить, во сколько раз он больше (или меньше), и простым умножением (или делением) определить длину неизвестной стороны.

В следующей публикации я расскажу о еще двух замечательных треугольниках, которые достойны того, чтобы узнавать их в лицо.

Источник

Египетский треугольник

Привет всем любителям математики и тем, кто ещё только влюбляется в неё! В предыдущей статье я предложил Вам интересную задачку. Вот она. В прямоугольном треугольнике известны длины двух катетов: 84 и 112. Единицы не имеют значения: это могут быть сантиметры, километры, футы, или мили — не важно. Вопрос: чему равна длина гипотенузы.

Что ж, решим эту задачку. Вспоминаем из школьного курса знаменитую теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Формулой это можно записать так: c²=a²+b², где c — гипотенуза, a и b — катеты. В нашем случае пусть a=84, b= 112. Тогда c²=84²+112²=7056+12544=19600. Тогда c=√19600=140. Итак, длина гипотенузы равна 140. Вроде всё просто и ничего примечательного?

Но в прошлой статье я Вам обещал, что этот треугольник не так прост, как кажется на первый взгляд. Возможно, самые пытливые из Вас заметили, что после того, как мы нашли длину неизвестной стороны, получилось три числа: 84, 112, и 140. Пытливость, конечно не в том, что мы нашли длину гипотенузы, она в том, что можно заметить: все три числа кратны какому-то другому числу, на которое их можно попробовать разделить. Математик поопытней сразу увидит, что все три числа кратны четырём, давайте разделим на 4 все эти числа. Получим: 21, 28, 35. Можно заметить, что и это ещё не всё. Наши числа кратны семи. Теперь разделим их на 7. В итоге получим: 3, 4, 5. Значит, исходные три числа были кратны 28.

Итак, мы подобрались к самому интересному! Оказывается, стороны нашего треугольника соотносятся числам 3, 4, и 5. Так вот, дорогие друзья, прямоугольный треугольник со сторонами, длина которых кратна 3, 4, и 5, ещё в древности получил название: египетский треугольник.

Читайте также:  Как сделай браслет из ниток шерстяных

Почему именно египетский? Такое название ему дали примерно в VII-V веках до нашей эры греческие философы. В то время многие из них часто бывали в Египте. Известен факт: в 535 году до нашей эры небезызвестный Вам Пифагор отправился в Египет для изучения математики и астрономии по настоянию ещё одного знаменитого философа, астронома и математика Фалеса Милетского. Существует даже версия (на мой взгляд, очень даже правдоподобная), что именно во время этой поездки Пифагор пришёл к доказательству своей знаменитой теоремы. Вы спросите: «Ну, и какое же применение может быть у такого треугольника?»

Так вот, многие века он имел огромное практическое значение. В древности, как нам известно не было спутников GPS, которые сейчас очень помогают не только автолюбителям, но и современным строителям при сооружении крупных объектов. Скажем, Вы — прораб на древней стройке. И перед Вами стоит задача: подготовить площадку идеальной квадратной формы для начала сооружения большого объекта. например, пирамиды. На чертежах это выглядит всё довольно просто и понятно: в основании начерчен квадрат со стороной 200 метров. Но как на практике на земле сформировать такой огромный квадрат!? Где же взять такой огромный угольник!? Как его изготовить!? Даже если и получится, сколько он будет весить!? Непосильная, вроде, задача. Но, вот тут-то к Вам и придёт на помощь знание свойств египетского треугольника. Зная их, можно сделать следующее: взять длинную нерастягивающуюся верёвку и метками или узлами отметить на ней 12 равных отрезков, по 50 метров. Почему 12 и 50? Надеюсь, чуть позже Вы сообразите сами. Если нет, пишите в комментариях — расскажу подробнее. Таким образом Вы получите верёвку длиной 600 метров с равными отрезками. Теперь осталось только собрать треугольник из неё: начало соединить с концом и растянуть на строительной площадке так, чтобы получился треугольник со сторонами 3, 4 и 5 отрезков (то есть 150, 200, 250 метров). Готово! У Вас получился прямоугольный треугольник! У Вас есть угол 90°! Остальное дело техники, как говорится.

Надеюсь, Вам понравилась статья. В следующей публикации обязательно будет тоже что-нибудь интересное!

Спасибо, что прочитали! Буду благодарен за комментарии, лайки, подписки.

Источник

Египетский треугольник и обратная теорема Пифагора

Математический лайфхак из обасти геометрии “Как при помощи простой верёвки получить треугольник с прямым углом”.
Египтяне 4000 лет назад для строительства пирамид использовали метод получения прямоугольного треугольника при помощи верёвки разделенной на 12 равных частей.

Понятие “египетский треугольник”.

Почему треугольник со сторонами 3, 4, 5 называют египетским?

А всё дело в том, что строителям Древнего Египта пирамид нужен был простой и надежный метод построения треугольника с прямым углом. И вот как они это реализовывали. Верёвку разбивали на двеадцать равновеликих частей, обозначив границы между соседними частями; концы верёвки соединяли. После этого 3 человека натягивали верёвку таким образом, чтобы она образовала треугольник, причем расстояния между каждыми двумя египтянами, тянущими веревку, составляли соответственно три части, четыре части и пять частей. Получался треугольник с прямым углом с катетами в три и четыре части и гипотенузой в пять частей. Известно, прямым был угол между сторонами в три и четыре части. Как известно, древнеегипетских землемеров, которые кроме обмеривания земельных наделов занимались построениями на местности, в древнем Египте их называли гарпедонаптами (что буквально переводится как «натягивающие верёвки»). Гарпедонапты занимали 3 место в иерархии жрецоы Древнего Египта.

Обратная теорема Пифагора.

Но из-за чего треугольник со сторонами 3, 4, 5 окажется прямоугольным? Большинство ответили бы на данный вопрос, что данный факт это теорема Пифагора: так как три в квадрате плюс четыре в квадрате равняется пяти в квадрате. Но теорема Пифагора говорит, что если треугольник с прямым углом, то тогда сумма квадратов 2-х его сторон равняется квадрату третьей. Здесь мы имеем дело с теоремой, обратной теореме Пифагора: если сумма квадратов 2-х сторон треугольника равна квадрату третьей, то тогда треугольник — прямоугольный.

Обрисованное практическое приложение обратной теоремы Пифагора относиться к далёкому прошлому. Едва ли кто-либо получает прямые углы таким методом сегодня. Но тем не менее данный способ является отличным математическим лайфхаком и может быть применён Вами в любой жизненной ситуации.

Метод определения прямоугольного треугольника при помощи верёвки из мира практики переместился в мир идей, подобно тому как многое из материальной культуры древности вошло в духовную культуру нынешней действительности.

Источник